domingo, 7 de junio de 2015

Desigualdades

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Una condición en $x$ es una expresión que contiene la variable $x$ y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye $x$ por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.
El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.
La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:
  • Si $x<y$ entonces $x+z<y+z$ para todo número real $z$.
  • Si $x<y$ y $z>0$ entonces $xz<yz$ y MATH.
  • Si $x<y$ y $z<0$ entonces $xz>yz$ y MATH.
Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad
MATH
Las siguientes desigualdades son equivalentes:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH, que se muestra en la figura siguiente
Ejemplo 2.42. Resolvamos la desigualdad
MATH
Aunque la desigualdad dada es equivalente a las dos desigualdades
MATH
las podemos resolver simultáneamente de la siguiente forma:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH.
Ejemplo 2.43.
Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a
MATH
El producto $(x-7)(x-3)$ puede cambiar de signo solo en $7$ o en $-3$, que son los puntos donde $x-7=0$ o $x-3=0$. Estos puntos los podemos llamar puntos de separación y nos dividen la recta en tres intervalos
MATH
En cada uno de estos intervalos $(x-7)(x-3)$ conserva el signo, es decir, siempre es positivo o siempre es negativo. Para determinar el signo en cada intervalo usamos un punto de prueba, elegido dentro del intervalo. Por ejemplo si tomamos $x=0$ en el intervalo $(-\infty ,3)$ los valores de $(x-7)$ y $(x-3)$ son ambos negativos y por lo tanto $(x-7)(x-3)>0$ en este intervalo. Similarmente se procede con los otros intervalos. Los resultados se pueden expresar en una tabla de signos como la siguiente
Intervalo$(-\infty ,3)$$(3,7)$$(7,\infty )$
Signo de $(x-7)$$-$$-$$+$
Signo de $(x-3)$$-$$+$$+$
Signo de $(x-7)(x-3)$$+$$-$$+$
donde el signo $(x-7)(x-3)$ se obtiene aplicando las reglas de los signos.
Por lo tanto, vemos que la solución de la desigualdad es MATH.
Una manera mas práctica de resolver esta desigualdad es elaborando un diagrama de signos, como se muestra a continuación.
En el diagrama, las líneas verticales corresponden a los puntos de separación y la recta horizontal es la recta real.
Ejemplo 2.44. Resolvamos la desigualdad
MATH
Elaboramos un diagrama de signos. Primero obtenemos los puntos de separación resolviendo las ecuaciones $2x+3=0$, $4-x=0$y $x+5=0$. Los puntos de separación son $-\dfrac{3}{2}$, $4$ y $-5$.
Tenemos el siguiente diagrama
Analizando el signo resultante, es decir el signo de $(2x+3)(4-x)(x+5)$, vemos que la solución de la desigualdad dada esMATH.
Ejemplo 2.45. Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a cada una de las siguientes
MATH
Elaborando el diagrama de signos tenemos
Por lo tanto la solución de la desigualdad es MATH.



 Desigualdades Cuadráticas

Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes:
MATH
con $a\neq 0$.
Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$donde $a\neq 0$ son
MATH
Además, fácilmente se verifica que $r_{1}$ y $r_{2}$ satisfacen las siguientes relaciones
MATH
La última fórmula nos proporciona un método para factorizar cualquier trinomio de la forma $ax^{2}+bx+c$ en todos los casos posibles.
Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadráticas. Una primera simplificación que podemos hacer es suponer que $a>0$, pues en caso contrario, multiplicando la desigualdad por $-1$, esta se transforma en otra desigualdad cuadrática con $a>0$.
Se presentan dos casos
Caso 1 Si $b^{2}-4ac\geq 0$.
En este caso la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ tiene raíces reales $r_{1}$ y $r_{2}$, podemos factorizar el trinomio $ax^{2}+bx+c$ en la forma MATH, y la desigualdad se resuelve como en el ejemplo 2.39.
Caso 2 Si $b^{2}-4ac<0$.
En este caso las raíces de la ecuación $ax^{2}+bx+c=0$ no son reales, sino complejas, y la factorización MATH no sirve para resolver la desigualdad.
Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:
Completando el cuadrado tenemos
MATH
Por lo tanto las desigualdades cuadráticas se transforman en su orden en
MATH
Como estamos suponiendo que $a>0$ y sabemos que $b^{2}-4ac<0$, las dos primeras desigualdades son válidas para todo número real y las dos últimas para ninguno.
Ejemplo 2.46. Resolvamos la desigualdad
$3x^{2}-10x+2\leq 0$.
En este caso MATH. Por lo tanto la ecuación $3x^{2}-10x+2=0$ tiene raíces reales que son
MATH
Luego la factorización de $3x^{2}-10x+2$ es
MATH
y la desigualdad original es equivalente a
MATH
Elaborando el diagrama de signos tenemos
Vemos que la solución de la desigualdad es el intervalo MATH
Ejemplo 2.47. Resolvamos la desigualdad $2x^{2}+4x+5\geq 0$.
En este caso tenemos que MATH. Por lo tanto la ecuación $2x^{2}+4x+5=0$ no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad $2x^{2}+4x+5\geq 0$ es todo $\QTR{Bbb}{R}$.
Ejemplo 2.48.
Resolvamos la desigualdad $-5x^{2}+7x-6>0$.
La desigualdad es equivalente a $5x^{2}-7x+6<0$.
Para esta última desigualdad tenemos que MATH. Por lo tanto la ecuación$5x^{2}-7x+6=0$ no tiene raíces reales y de acuerdo a la teoría desarrollada, el conjunto solución de la desigualdad$5x^{2}-7x+6<0$ es $\emptyset$. Es decir, la desigualdad original $-5x^{2}+7x-6>0$ no tiene soluciones reales.
Para terminar esta sección, recalcamos que cuando $a>0$ y $b^{2}-4ac<0$, las desigualdades cuadráticas, o tienen como conjunto solución todo $\QTR{Bbb}{R}$, o no tienen soluciones reales.

 Desigualdades con Valor Absoluto
En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real $x$, que representamos por $\left| x\right|$, mediante
MATH
También observamos en dicho capítulo que $\left| x\right|$ representa la distancia del origen al punto $x$, y de forma mas general que MATHrepresenta la distancia entre $x_{1}$ y $x_{2}$.
Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.
Propiedades del valor absoluto. Si $x$ y $y$ son números reales arbitrarios entonces
  1. MATH
  2. MATH
  3. MATH, $y\neq 0)$
  4. MATH (Desigualdad triangular)
  5. MATH y MATH
    La interpretación geométrica de $\left| x\right| $ nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades
    Sea $a\geq 0$. Entonces
  6. MATH es equivalente a $-a\leq x\leq a$
  7. MATH es equivalente a $x\geq a$ o $x\leq -a$
    Gráficamente tenemos

    Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente
  8. MATH es equivalente a $x^{2}\leq y^{2}$
En las propiedades (6) a (8) el símbolo $\leq $ puede remplazarse por $<$.
Ejemplo 2.49. Resolvamos la desigualdad MATH.
Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
MATH
Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo MATH.
Ejemplo 2.50. Resolvamos la desigualdad MATH.
La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a
MATH
Resolviendo
MATH
o sea
MATH
Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es MATH
Ejemplo 2.51. Resolvamos la desigualdad MATH.
Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
MATH
Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de $(-x-10)$+--
Signo de $(5x+8)$--+
Signo de $(-x-10)(5x+8)$-+-
Vemos que la solución de la desigualdad es MATH.



 Autor: Saúl Salazar Gómez  

 Alumno UACM





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